In einem Gebirgsbach lebt eine Population empfindlicher Bachforellen. Ihr Überleben hängt stark von der Wasserqualität ab, insbesondere vom Gehalt an gelöstem Sauerstoff. Ein Umweltinstitut misst einmal pro Woche den Sauerstoffgehalt.
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Phase 1: Gemessener Sauerstoffgehalt
Die Messung ergibt einen bestimmten Wert x für den Sauerstoffgehalt in Milligramm pro Liter (mg/L). Aus Erfahrung weiß man, dass an diesem Messpunkt typischerweise drei Szenarien auftreten können:
- Niedriger Sauerstoff:
x = 4 mg/L. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Wert beträgt P(x=4) = 0.2 (20%). (z.B. bei sehr warmem Wetter)
- Mittlerer Sauerstoff:
x = 7 mg/L. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Wert beträgt P(x=7) = 0.5 (50%). (Normalzustand)
- Hoher Sauerstoff:
x = 10 mg/L. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Wert beträgt P(x=10) = 0.3 (30%). (z.B. nach starkem Regen und kühlem Wetter)
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Phase 2: Überlebenschance der Jungfische
Die Wahrscheinlichkeit (P(Ü)) dafür, dass ein neu geschlüpfter Jungfisch die nächste Woche überlebt, hängt direkt vom gemessenen Sauerstoffgehalt x ab. Biologen haben dafür eine Berechnungsfunktion entwickelt:
P(Ü | x) = (x - 1) / 10
Diese Formel bedeutet: Nimm den gemessenen Sauerstoffwert x, ziehe 1 ab und teile das Ergebnis durch 10. Das Ergebnis ist die Überlebenswahrscheinlichkeit für einen Jungfisch bei diesem Sauerstoffgehalt.
Die Aufgabe:
Betrachte einen zufällig ausgewählten Jungfisch in dieser Woche.
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Zeichne ein Baumdiagramm:
- Die erste Stufe stellt die möglichen gemessenen Sauerstoffwerte (
x=4, x=7, x=10) mit ihren Wahrscheinlichkeiten dar.
- Die zweite Stufe stellt für jeden möglichen Sauerstoffwert das Ergebnis für den Jungfisch dar: Überlebt (Ü) oder Stirbt (S).
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Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die zweite Stufe:
- Berechne mithilfe der Funktion
P(Ü | x) = (x - 1) / 10 die Überlebenswahrscheinlichkeit P(Ü) für jeden der drei möglichen Sauerstoffwerte (x=4, x=7, x=10).
- Berechne daraus jeweils die Wahrscheinlichkeit zu Sterben
P(S) (Hinweis: P(S) = 1 - P(Ü)).
- Beschrifte die Äste der zweiten Stufe im Baumdiagramm mit diesen berechneten Wahrscheinlichkeiten (als Bruch oder Dezimalzahl).
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Berechne die Gesamt-Wahrscheinlichkeiten:
- A: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Sauerstoffgehalt
x=7 mg/L beträgt UND der Jungfisch überlebt?
- B: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Sauerstoffgehalt
x=4 mg/L beträgt UND der Jungfisch stirbt?
- C: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Jungfisch die Woche insgesamt überlebt (egal bei welchem Sauerstoffgehalt)? Addiere dazu die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zum Überleben führen.
Zusatzfrage (zum Nachdenken):
Warum ist es sinnvoll, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit mit steigendem Sauerstoffgehalt x zunimmt? Und warum muss das Ergebnis der Funktion (x - 1) / 10 immer zwischen 0 und 1 liegen, damit es eine gültige Wahrscheinlichkeit ist? (Prüfe das für die gegebenen x-Werte).
In Sprachniveau A1:
Titel: Fisch braucht Luft im Wasser
Worum geht es?
- Es gibt einen Fluss (großes Wasser).
- Im Fluss leben Fische.
- Fische brauchen Sauerstoff (Luft) im Wasser zum Leben.
- Wir messen den Sauerstoff. Wir bekommen eine Zahl. Die Zahl heißt
x.
1. Wieviel Sauerstoff ist da? (Stufe 1)
Es gibt 3 Möglichkeiten für die Zahl x:
- Möglichkeit 1:
x = 4 (wenig Sauerstoff)
- Die Chance dafür ist 20%.
- Möglichkeit 2:
x = 7 (mittel Sauerstoff)
- Die Chance dafür ist 50%.
- Möglichkeit 3:
x = 10 (viel Sauerstoff)
- Die Chance dafür ist 30%.
(Info: Chance 20% heißt: Wenn wir 100 Mal messen, ist x ungefähr 20 Mal die Zahl 4.)
2. Lebt der Fisch? (Stufe 2)
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Wir schauen einen kleinen Fisch an.
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Lebt der Fisch nächste Woche? Oder stirbt der Fisch?
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Das kommt auf die Zahl x an.
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Die Chance, dass der Fisch lebt, heißt P(lebt).
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Die Formel für P(lebt) ist:
P(lebt) = (x - 1) / 10
Deine Aufgabe
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Male ein Bild (Baumdiagramm):
- Zeichne Linien für die 3 Möglichkeiten von
x (4, 7, 10).
- Schreibe die Chancen (20%, 50%, 30%) an die Linien.
- Nach jeder Zahl (
x=4, x=7, x=10): Zeichne 2 neue Linien: eine für "lebt", eine für "stirbt".
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Rechne die Chancen für "lebt" und "stirbt":
- Benutze die Formel: P(lebt) = (x - 1) / 10
- Rechne P(lebt) für
x = 4.
- Rechne P(lebt) für
x = 7.
- Rechne P(lebt) für
x = 10.
- Rechne P(stirbt): P(stirbt) = 1 - P(lebt). Mache das für alle drei
x (4, 7, 10).
- Schreibe alle Chancen (P(lebt), P(stirbt)) in dein Bild an die Linien für Stufe 2.
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Rechne die ganze Chance:
- A: Wie groß ist die Chance für:
x = 7 UND Fisch lebt?
- Rechne: (Chance für
x=7) mal P(lebt bei x=7) = ?
- B: Wie groß ist die Chance für:
x = 4 UND Fisch stirbt?
- Rechne: (Chance für
x=4) mal P(stirbt bei x=4) = ?
- C: Wie groß ist die Chance für: Fisch lebt (egal, welcher
x)?
- Rechne: (Chance für
x=4 UND lebt) plus (Chance für x=7 UND lebt) plus (Chance für x=10 UND lebt) = ?
- (Du musst erst die Chance für jeden Teil rechnen, wie in A. Dann alles plus rechnen.)
